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人教版八年级数学下册
第17章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理的认识
学习目标
1. 经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.
2. 会用勾股定理进行简单的计算 .
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系（即直角三角形三边关系），古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系.
勾股定理也有很多别称，也叫毕达哥拉斯定理、百牛定理、商高定理、驴桥定理和埃及三角形等.
勾股定理被誉为“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理. 在我们今后的几何计算题和推理题中都有着广泛的应用.
迄今为止，勾股定理大约有500多种证明方法，是证明方法最多的定理之一.
引入新课
勾股定理的历史
勾股定理的认识及验证
相传2500多年前，毕达哥拉斯在朋友家做客时，看到朋友家用砖铺成的地面图案，发现了直角三角形三边的某种关系（如图）：
问题1：试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
探究新知
问题2：图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么数量关系？
一直角边2
另一直角边2
斜边2
等腰直角三角形三边的关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.
问题3：网格中为一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)：
这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
探究新知
方法1：补形法(把正方形C补成各边都在网格线上的正方形）：
左图：
右图：
方法2：分割法(把正方形C分割成易求出面积的三角形和四边形）：
左图：
右图：
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
13
16
25
也就是说，由这三个正方形围成的直角三角形的三边也满足两直角边的平方和等于斜边的平方这种关系.
一直角边2
另一直角边2
斜边2
由上面的几个例子，我们不难得到这样的猜想：
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.）
下面动图形象的说明命题1的正确性
我们的猜想该如何证明呢？
证法1：让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.
∵S大正方形＝c2，
又∵S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
妙解归纳：两种方法计算一个图形的面积，得到一个等量关系，从而解决问题.
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
证法2：毕达哥拉斯证法
如图，图中的四个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
∴a2 + b2 = c2.
证法3：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
证明：
公式变形：
勾股定理: 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）.
现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以我们刚刚猜想的命题1在我国叫做勾股定理.
归纳总结
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理.
勾
股
勾2+股2=弦2
为什么叫勾股定理这个名称呢？
国外又叫毕达哥拉斯定理
例1：如图，在RtABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5，求c；
（2）若a=1，c=2，求b.
解：
(1)在RtABC中， ∠C=90°
(2)在RtABC中， ∠C=90°
注意：1. 看好哪个角是直角，选择正确的公式来求边长
2. 规范书写格式
典例分析
（1）若a：b=1：2 ，c=5，求a；
（2）若b=15，∠A=30°，求a，c.
【变式1】在RtABC中，∠C=90°.
解：
(1)设a=x，b=2x，由勾股定理得
x2+(2x)2=52，
解得
(2)
因此设a=x，c=2x，根据勾股定理得
(2x)2-x2=152，
解得
已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
【变式2】 在RtABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图①，
当BC为斜边时，如图②，
图①
图②
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
1. 下列说法中，正确的是 （）
A. 已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在RtABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2
D. 在RtABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2
2. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为.
8 cm
10 cm
36 cm
当堂巩固
3. 在ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c=.
（2）若c=13，b=12，则a=.
4. 若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_______.
17
74或24
5. 图中已知数据表示面积，求表示边的未知数x、y的值.
解：由勾股定理可得
81+ 144=x2，
解得x=15.
解：由勾股定理可得
y2+ 144=169，
解得 y=5
结论:
S1+S2+S3+S4
=S5+S6
=S7
已知S1 =1， S2 =3， S3 =2， S4 =4，求S5、 S6、S7的值.
能力提升
美丽的勾股树
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一棵美丽的勾股树．
1.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）
A．统计思想 B．分类思想C．数形结合思想 D．函数思想
【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
感受中考
2.如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5 cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6 cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（）
A．6 cmB．7 cmC．cmD．8 cm
感受中考
【解答】解：由题意知，
AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，
过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，
则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，
∴∠CBM＝∠DCN，
在BCM和CDN中，，
∴BCM≌CDN（AAS），
∴BM＝CN，
在RtBCM中，
∵BM＝5，CM＝3，
∴BM，
∴CN＝4，
∴CE＝2CN＝2×4＝8，
故选：D．
本节课学习了著名的勾股定理并会运用勾股定理求直角三角形的边长，还知道从特殊到一般的探索方法.
借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想.
1. 内容及方法
2. 数学思想
课堂小结
P28：习题17.1：第1、7、8题.
布置作业
